Calendario gregoriano.

              Un calendario es una escala de tiempo físico utilizada por cualquier sociedad. Actualmente, el calendario gregoriano es de uso casi universal en la mayoría de los países. ¿Cuál es su origen? ¿Para qué sirven los años bisiestos? ¿Por qué las entradas de las estaciones no ocurren todas el mismo día y a la misma hora?

 

(pincha en el icono)

En este programa de es.Radio, el presentador, para entrar en materia, pregunta a sus contertulios si saben por qué las estaciones no empiezan cada año el mismo día y a la misma hora. Los contertulios no saben responder con claridad a una pregunta "tan ingenua", a pesar de ser periodistas, expertos en economía y analistas políticos (por tanto, personas que aprobaron la antigua EGB) 

       Al hablar de ingenuidad en la pregunta que formula el periodista, subrayo su entrecomillado porque  la respuesta no sólo ha supuesto miles de años de investigación astronómica, sino porque su sencillez y claridad hacen de esta respuesta un monumento al pensamiento práctico y matemático.(A partir de 2º de ESO) 

Cardano y Tartaglia

     Cierra los ojos y viaja con tu imaginación a un torneo medieval. Si en ese torneo no existen ni espadas, ni lanzas, ni caballeros, sino sólo la potente imaginación de un grupo de matemáticos que buscaban ganarse la vida en las plazas de alguna ciudad, entonces es que habrás leído ya esta entrada. Pero si no lo has hecho y te pica la curiosidad, a continuación te adentrarás en el mundo de los torneos matemáticos. ¿En qué consistían estos torneos? ¿Qué premios había para los campeones? ¿Por qué fueron tan importantes en el desarrollo de las Matemáticas del Renacimiento?. Te lo explicaré de la mano de los dos mejores campeones: Cardano y Tartaglia.

  Un caballero recoge el laurel de la victoria.

       Ésta es su historia de rivalidad.

       Si quieres escuchar su historia mediante un podcast, pincha en este enlace. 
       Si prefieres leer, pincha en "más información"

Ruffini, el matemático olvidado.

    Si ya estás en 3º de ESO, sabrás que su método para dividir polinomios entre divisores del tipo x - a, es de los más importantes para luego aplicarlo en la resolución de algunas ecuaciones de grado elevado (3 o más). 

     La verdad es que Ruffini  fue un adelantado a su tiempo en el estudio de las ecuaciones sobre todo, superando en ocasiones al más famoso matemático del momento, el francés Lagrange. De él partió la idea de demostrar que toda ecuación algebraica de grado 5 o mayor no se puede resolver con una fórmula como la del tipo de la ecuación de segundo grado, es decir, que incluya operaciones algebraicas en las que se involucren sólo los coeficientes de la ecuación, una vez agrupada (las x con las x, los x al cuadrado con los x al cuadrado, etc) 

   Otro matemático impresionante, pero fallecido muy joven por causas que ya hemos comentado en clase, Galois, tomó el testigo de estas investigaciones de Ruffini y llegó a demostrar este gran teorema del Álgebra.

     Aquí os dejo un enlace, en el que el programa "A Hombros de Gigantes", de RNE 5 nos habla de este matemático de primera fila bastante olvidados por casi todos (menos para vosotros, estudiantes de 3ºb y 4º de ESO). Pincha en la fotografía,

Paolo Ruffini

Fuente: A hombros de Gigantes

El número áureo y la sucesión de Fibonacci

       Leonardo de Pisa, más conocido como Fibonacci, fue un matemático italiano del siglo XIII. Su importancia en las Matemáticas es indudable, puesto que a él se debe la introducción en Europa de los métodos de cálculo árabes de realizar opeaciones.

       En esa época, la forma de representar los números que teníamos los europeos era la forma romana. Imaginaos hacer una simple multiplicación usando números romanos: ¡imposible!. Por eso se usaba el ábaco, instrumento rudimentario de cálculo que extendieron los mongoles en la Europa de la Edad Media y que provenía de China y de Rusia.

       En un principio, los comerciantes italianos eran reacios a abandonar el ábaco que ya manejaban con gran habilidad y pusieron muchos impedimentos al nuevo sistema de cálculo sobre arena (cálculo escrito) que aprendió Fibonacci de los árabes y que pretendió introducir en Europa en su obra Liber abaci (Libro del ábaco). Pero los negocios son los negocios, y los árabes, muchos más hábiles comerciantes debido a su mejor sistema de operaciones, pudieron dominar el comercio en el Mediterráne, sino llega a ser porque los comerciantes italianos adoptaron a tiempo los nuevos sistemas de cálculo que Fibonacci aprendió de los árabes.

Liber Abacci

       Pero Fibonacci, a pesar del éxito, divulgación y aceptación de su Liber Abaci, es más conocido actualmente por una curiosa sucesión de números.

       Se parte de 1, luego el siguiente es 1, el siguiente se hace sumando los dos anteriores, 1+1=2, el siguiente sumando los dos anteriores, 2+1= 3 y así sucesivamente.

       Bien, ahora te toca a ti investigar sobre esta sucesión y su relación con el número de oro.

     a) Tras explicar lo aprendido en esta entrada, construye los 20 primeros términos de la sucesión de Fibonacci.

    b) Construye los 20 primeros términos de la sucesión que se obtiene al dividir un término de la sucesión de Fibonacci entre su anterior (no uses aproximaciones decimales, por la calculadora en modo normal)

     c)¿Hacia qué número se aproxima la lista que estás obteniendo?

     d)¿Qué enunciado de un famoso problema le llevó a formular esta sucesión a Fibonacci?

   e)¿Qué tiene que ver esta sucesión con el famoso triángulo de Pascal de probabilidad?. Busca este triángulo (es el mismo que el de Tartaglia para hacer binomio de Newton)

     f) El número áureo aparece en muchos fenómenos de la naturaleza. Puedes buscar información en el vídeo que aparece en la entrada "El número áureo" en la etiqueta "Matemáticas - Sociedad" de este blog. Pero también ha sido usado en la música. Puedes oírlo en la etiqueta "El número de oro en el Rock de la etiqueta "Matemáticas y Música"). Bien, aquí te he puesto un ejemplo de música rock actual en el que se emplea el número áureo. ¿Podrías tú buscar algunas sinfonías y obras musicales (de música culta) en la que se usa el número áureo?

Leonardo de Pisa, Fibonacci

Aproximaciones históricas al número Pi

       El número pi es la relación que existe entre la longitud de una circunferencia y su diámetro (Pi = longitud/diámetro). Ahora sabemos que es un número irracional (o inconmensurable, como decían los griegos). Sin embargo, a lo largo de diversas culturas se le ha ido dando diversas aproximaciones racionales en forma de fracción. Por ejemplo:

• En el papiro Rhind, del antiguo Egipto, se afirma que Pi = 256 / 81
• Los matemáticos mesopotámicos decían que Pi = 3 + 1 / 8
• En la Biblia podemos leer en I Reyes, 7:23: "Hizo fundir asimismo un mar de diez codos de un lado al otro, perfectamente redondo. Tenía cinco codos de altura y a su alrededor un cordón de treinta codos" (es un fragmento en donde se explica cómo se construyó el arca de la alianza)
• Para los griegos, Pi = 355  / 113. Éstos siempre buscaban armonía y belleza en las expresiones matemáticas, fíjate en la secuencia 113355.
• Vitruvio, arquitecto romano afirmó en el año 20 d.C. que Pi = 25 / 8
• En el siglo II, el gran astrónomo egipcio Claudio Ptolomeo, famoso por sus teorías geocéntricas que explicaban el movimiento extraño de los planetas mediante los epiciclos, decía que Pi = 377 / 120
• En el siglo IX., el matemático árabe Al-Jwarizmi (de aquí procede la palabra algoritmo), en su libro de Matemáticas "Álgebra", decía que Pi =  22 / 7

       a) ¿Qué aproximación es la mejor? Para ello deberás resolver también el valor de Pi que se deduce del texto bíblico. ¿Cuáles se pueden considerar válidas con una cota de error inferior al 0,1 %?

       b) El libro más extenso del mundo no es alfabético, sino numérico. En él se escriben los decimales del número Pi extraidos por una supercomputadora en el año 2009. ¿Cómo sé llama esta supercomputadora? ¿Cuántos decimales extrajo al número Pi? ¿En cuánto tiempo logró calcular esa enorme cantidad de decimales?

Observa que esta revista de calculadoras Casio tiene como nombre la aproximación árabe del número Pi.

Descubrir el número Pi

    El número Pi es sin duda el número irracional más famoso. En esta entrada intentaré relacionarte la trigonometría y los límites con la aparición del número Pi. Necesitas de una calculadora y refrescar las relaciones trigonométricas básicas como seno, coseno y tangente.

   

       El matemático griego que mejor se aproximó al valor de Pi (que es la relación entre el diámetro y la longitud de una circunferencia) fue Arquímedes de Siracusa. Aunque él desconocía el significado de límite, si que tenía una intuición prodigiosa que nos permite imitar el proceder de su descubrimiento aun usando conceptos matemáticos posteriores a él.

       Para emular el descubrimiento histórico del número Pi debes ir contestando a una serie de preguntas encadenadas que van a ser el grueso de tu investigación. ¿Te atreves?

       Para acceder al documento, pincha en el icono. ¡Suerte!

Recomendado a partir de 4º ESO

La Criba de Eratóstenes y cálculo del tamaño de la Tierra (2º ESO)

       Eratóstenes nació en Cyrene (ahora Libia), en el norte de Africa. Vivió entre los años 275 y 195 antes de Cristo.Por varias décadas, fue el director de la famosa Biblioteca de Alejandría. Fue una de las personas más reconocidas de la época, pero lamentablemente sólo pocos fragmentos de lo que escribió sobrevivieron en el tiempo.Finalmente, murió en una huelga voluntaria de hambre, inducido por la ceguera que lo desesperaba.De todas formas, Eratóstenes se hizo famoso por dos cosas que hizo:–por la medición increíblemente precisa que hizo del diámetro de la Tierra , y por haber fabricado una criba, o un filtro, para descubrir todos los números primos. Si Eratótenes calculó el radio de la Tierra es porque sabía que la Tierra era redonda. Es decir, que 15 ¡siglos! antes que Colón, ya se sabía que la Tierra era redonda.

PINCHANDO EN LA IMAGEN PODRÁS VISUALIZAR LA CRIBA DE ERASTÓTENES.

Eratóstenes

       En este vídeo aprenderás cómo Eratótenes pudo llegar a medir el tamaño de la Tierra.

Serie divulgativa "Cosmos" del científico Carl Sagan



1.- Expón en clase un poco de la biografía de Eratóstenes.

2.- Explica cómo se calculan los primos del 1 al 100.

3.- Explica cómo se calcula en tamaño de la Tierra mediante sombras.

Distintos sistemas de numeración

     La invención de los números tiene su origen por la necesidad del hombre de contar cosas: piezas de una cacería, miembros de una tribu, cabezas de ganado, supervivientes de una batalla tribal...

     Hay pruebas arqueológicas que datan de hace 40.000 años del intento de contar del hombre de Cromagnon. Son muescas en huesos o pinturas a rayas en paredes de cuevas.

     En las más diversas culturas nos encontramos los elementos más rudimentarios para contar: por ejemplo el rosario entre los católicos. Pero sin duda el elemento más primitivo es el propio cuerpo humano, más concretamente algunas de sus partes.

      Por eso no es extraño que usemos el sistema en base 10 debido a que tenemos 10 dedos en las manos y 10 en los pies. Hay otros sistemas que son en base 12, como por ejemplo las horas de un reloj, o el 60 para contar los minutos de una hora, o el 20 como ocurre al decir ochenta en francés, (quatre-vingt). 

     Los sistemas en base 12 seguramente tienen su origen al contar las falanges de cada dedo: cada dedo de la mano tiene tres falanges y si contamos con el pulgar (el dedo gordo) los otros dedos, son en total, 4 dedos por 3 falanges igual a 12.

     Los sumerios y los babilonios usaron el sistema en base 60 y a ellos debemos nuestra manera de contar el tiempo. Seguramente 60 es el resultado de la confluencia de dos culturas, una que contaban en base 10 y otra en base 12. Efectivamente, 60 es múltiplo de 10 y 12.

     Nuestro sistema es posicional. No es los mismo 25 que 52. El sistema posicional de los números ya se usaban en el año 2000 a. C. En concreto en unas tablillas de arcilla de la civilización babilónica, los números eran representados del siguiente modo: T para el 1; < para el 10.

     De este modo 24 = <</TTTT

     Como su sistema de numeración era en base 60 (que luego heredaron los egipcios y aún hoy se sigue usando), el número 93 se puede descomponer como:

     93 = 60 + 33 = 60 + 30 + 3 = T/<<</TTT

     Aquí tienes otros ejemplos de traducir números en sistema decimal al sistema babilónico:     

     134 = 2.60 + 10 + 4 = TT/</TTTT

     3935 = 1.60 (al cuadrado) + 5.60 + 35 = 1.60(al cuadrado) + 5.60 + 30 + 5 = T/TTTTT/<<</TTTTT

     Responde a las siguientes cuestiones:

          a) Resume lo aprendido y exponlo en clase.

          b) ¿Qué otros sistemas de numeración se usan a tu alrededor? (cita por lo menos tres más)

          c) Si fueras un contable babilonio del año 2000 a. C, ¿cómo escribirías en tu tablilla de arcilla el número 4103?

          d) ¿Qué número representaría el T/TTT/<<<<</TTT?

          e) Busca en Internet información sobre la tablilla Plimpton 322. ¿A qué gran resultado matemático se adelantó 1200 años?

                                         

     Tablilla Plimpton 322, escrita en el 1800 a. c. Unos números que establecen relaciones sorprendentes. Las Matemáticas de esa época estaban ya muy avanzadas.

Que nadie entre aquí si no sabe Geometría. Platón y Pitágoras.

     No, no se trata de una prohibición para que nadie pueda leer esta entrada. Es lo que lucía en el dintel de la puerta de la Academia de Platón. Con esto pretendo enfatizar lo importante que fueron las Matemáticas, en concreto la Geometría, para el pensamiento platónico.

     El año que viene estudiaréis Filosofía, y Platón es uno de los filósofos griegos más importantes. Quizá en clase no os detengáis demasiado en las influencias de Pitágoras en el modo de comprender la naturaleza para los platónicos. Esta lectura te introducirá en la filosofía platónica y su relación íntima con las Matemáticas, complementando desde mi asignatura el conocimiento que tendréis de la filosofía de Platón.   

Recomendado a partir de 4º ESO

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Hasta el infinito y más allá

      El infinito ha sido un concepto del que siempre ha habido una fortísima resistencia a utilizarlo. Se ha asociado al mal y la Iglesia llegó a prohibir pensar incluso en él. Se consideraba como algo pecaminoso porque el infinito era potestad divina y sólo Dios podía pensar en él, no los hombres. Esta idea perduró durante siglos y llegó hasta el Renacimiento e incluyo más allá.

      El matemático George Cantor, en el siglo XIX, no sólo fue el creador de la teoría de conjuntos sino que fue el primer hombre que se enfrentó a tumba abierta a este concepto. ¡Y lo que descubrió fue muy fuerte!

      Demostró que el número de puntos de un segmento pequeño, que es infinito, es exactamente el mismo que el de un segmento grande, que es también infinito. Además demostró que si construyes un cuadrado con uno de los segmentos, el número de puntos del cuadrado es el mismo que el que hay en el segmento, que es infinito.

      Podríamos decir que como son infinitos, al fin y al cabo todos son iguales. Pero he aquí la gran revolución: hay infinitos más grandes que otros, además son muchos, infinitos. A cada infinito le asoció un número Aleph y fue el origen de los números transfinitos.

      Si te interesa saber más, puedes leer el siguiente documento en el que te muestro dos infinitos distintos con problemas asequibles para entenderlos en un nivel de 4º ESO.

Aleph es la primera letra del alfatebo Proto-Cannaneo

     Este artículo está recomendado para alumnos de 4º ESO.

La paradoja de Aquiles y la tortuga

Zenón de Elea, del siglo V a.C, fue un filósofo presocrático que creía que sólo la verdad última de las cosas puede alcanzarse mediante la filosofía. Para él las observaciones mediante los sentidos no son más que una visión limitada y distorsionada de la realidad. Para que entiendas esta idea pincha aquí. Accederás a una página en donde podrás experimentar algunas ilusiones ópticas. Zenón formuló su célebre paradoja de “Aquiles y la tortuga” para demostrar que el movimiento realmente es una ilusión y que por tanto no existe:

“En una carrera entre el veloz Aquiles y la lenta tortuga, no será Aquiles el primero en llegar a la meta, ya que deberá recorrer la mitad de su camino, y luego la mitad de la mitad del trayecto, y luego la mitad de la mitad de la mitad del trayecto y así indefinidamente”.

Zenón creía que para buscar la verdad sólo hacía falta la razón, y parece que ésta nos dice que ninguno ganará. Usando el cálculo infinitesimal inventado por Newton y Leibnitz en 1666  podremos resolver completamente esta paradoja.

1. Calcula el término general de la sucesión de Zenón.
2. ¿La serie que como término general es la sucesión de Zenón es convergente? Calcula la suma. ¿Qué concluyes?

Solución: Que como nos indicaban los sentidos, llega antes Aquiles.

Nota: Arquímedes de Siracusa (s.III a.C), el mejor matemático de la Antigüedad y considerado como uno de los tres matemáticos más importantes de la historia junto a Newton y Gauss, a partir de un número infinito de subdivisiones geométricas progresivas alcanzó un resultado geométrico finito, por lo que el problema quedaba resuelto de un modo bastante ingenioso, pero usando lo que el paradigma platónico de la época dictaba: únicamente debían ser permitidas las reglas y un par de compases como instrumentos de construcción en Geometría. Por alguna razón mística conocida únicamente por Platón y su Dios geometrizante, eran consideradas vulgares e incluso tabúes el las Matemáticas que no se hicieran así.

Pero hubo matemáticos independientes a esta forma de pensamiento platónico: Zenón (s. V a.C), Eudoxio (s. IV) a.C y Arquímedes. Gracias a ellos, muchos siglos después, gigantes como Galileo y Newton pudieron seguir su camino y con ellos se creó la Ciencia.

Artículo recomendado para alumnos de 4º ESO

     Como dijo aquél, "el movimiento se demuestra andando". Bueno, también lo hemos demostrado con series numéricas.

       Esta actividad ha sido encuadrada dentro de una Webquest que he realizado sobre sucesiones y series que te sorprenderán. Pincha aquí para acceder a Sucesiones y Series