Matemáticas ESO Carmelitas Jaén: El número áureo y la sucesión de Fibonacci

Leonardo de Pisa, más conocido como Fibonacci, fue un matemático italiano del siglo XIII. Su importancia en las Matemáticas es indudable, puesto que a él se debe la introducción en Europa de los métodos de cálculo árabes de realizar opeaciones.

En esa época, la forma de representar los números que teníamos los europeos era la forma romana. Imaginaos hacer una simple multiplicación usando números romanos: ¡imposible!. Por eso se usaba el ábaco, instrumento rudimentario de cálculo que extendieron los mongoles en la Europa de la Edad Media y que provenía de China y de Rusia.

En un principio, los comerciantes italianos eran reacios a abandonar el ábaco que ya manejaban con gran habilidad y pusieron muchos impedimentos al nuevo sistema de cálculo sobre arena (cálculo escrito) que aprendió Fibonacci de los árabes y que pretendió introducir en Europa en su obra Liber abaci (Libro del ábaco). Pero los negocios son los negocios, y los árabes, muchos más hábiles comerciantes debido a su mejor sistema de operaciones, pudieron dominar el comercio en el Mediterráne, sino llega a ser porque los comerciantes italianos adoptaron a tiempo los nuevos sistemas de cálculo que Fibonacci aprendió de los árabes.

Liber Abacci

Pero Fibonacci, a pesar del éxito, divulgación y aceptación de su Liber Abaci, es más conocido actualmente por una curiosa sucesión de números.

Se parte de 1, luego el siguiente es 1, el siguiente se hace sumando los dos anteriores, 1+1=2, el siguiente sumando los dos anteriores, 2+1= 3 y así sucesivamente.

Bien, ahora te toca a ti investigar sobre esta sucesión y su relación con el número de oro.

a) Tras explicar lo aprendido en esta entrada, construye los 20 primeros términos de la sucesión de Fibonacci.

b) Construye los 20 primeros términos de la sucesión que se obtiene al dividir un término de la sucesión de Fibonacci entre su anterior (no uses aproximaciones decimales, por la calculadora en modo normal)

c)¿Hacia qué número se aproxima la lista que estás obteniendo?

d)¿Qué enunciado de un famoso problema le llevó a formular esta sucesión a Fibonacci?

e)¿Qué tiene que ver esta sucesión con el famoso triángulo de Pascal de probabilidad?. Busca este triángulo (es el mismo que el de Tartaglia para hacer binomio de Newton)

f) El número áureo aparece en muchos fenómenos de la naturaleza. Puedes buscar información en el vídeo que aparece en la entrada "El número áureo" en la etiqueta "Matemáticas - Sociedad" de este blog. Pero también ha sido usado en la música. Puedes oírlo en la etiqueta "El número de oro en el Rock de la etiqueta "Matemáticas y Música"). Bien, aquí te he puesto un ejemplo de música rock actual en el que se emplea el número áureo. ¿Podrías tú buscar algunas sinfonías y obras musicales (de música culta) en la que se usa el número áureo?