CUESTIÓN DE LÓGICA

     En un vaso hay un cierto número de bacterias. Un segundo después, cada bacteria se divide en dos; al siguiente segundo, cada una de las bacterias resultantes se dividen otra vez en dos, y así sucesivamente. Después de un minuto, el vaso está lleno. ¿Cuándo estaba el vaso medio lleno?

Louis Pasteur

Calendario gregoriano.

              Un calendario es una escala de tiempo físico utilizada por cualquier sociedad. Actualmente, el calendario gregoriano es de uso casi universal en la mayoría de los países. ¿Cuál es su origen? ¿Para qué sirven los años bisiestos? ¿Por qué las entradas de las estaciones no ocurren todas el mismo día y a la misma hora?

 

(pincha en el icono)

En este programa de es.Radio, el presentador, para entrar en materia, pregunta a sus contertulios si saben por qué las estaciones no empiezan cada año el mismo día y a la misma hora. Los contertulios no saben responder con claridad a una pregunta "tan ingenua", a pesar de ser periodistas, expertos en economía y analistas políticos (por tanto, personas que aprobaron la antigua EGB) 

       Al hablar de ingenuidad en la pregunta que formula el periodista, subrayo su entrecomillado porque  la respuesta no sólo ha supuesto miles de años de investigación astronómica, sino porque su sencillez y claridad hacen de esta respuesta un monumento al pensamiento práctico y matemático.(A partir de 2º de ESO) 

La ficción del espacio y tiempo absolutos

       Isaac Newton es uno de los gigantes sobre los que cabalga la Ciencia actual. Él ha aportado una de las dos dinámicas de movimientos más importantes (la otra es la dinámica relativista de Einstein). Sin embargo, la de Newton falla en algunos casos extremos. Ello es debido a que el propio Newton supuso un escenario con espacio y tiempos absolutos. ¿Existen realmente o son una ficción?

La comunicación vía GPS  bajo un espacio y tiempo absolutos sería imposible. 

Stephen Hawking

       Stephen Hawking es hoy por hoy uno de los científicos más reconocido por el público. Los valores de superación ante una grave enfermedad que le ha mantenido inmóvil casi toda su vida, la osadía de sus ideas científicas y la claridad y agudeza no exentas de humor con las que sabe transmitirlas a un lector no especializado, lo han convertido en un icono intelectual, una especie sabio casi infalible que no duda en sacar el tema de la mente de Dios o la existencia de Dios en casi todas sus obras, dándole así un punto más mediático.

       Pero si dejamos a un lado todo este ruido mediático, siento deciros que este gran astrónomo muestra un modelo de universo incompleto. En esta entrada intentaré resumir sus aportaciones a la comprensión del Universo y las críticas que gran parte de la comunidad científica ha hecho de su labor.

      Hawking es un intelectual mediático, incluso aparece en los Simpsons

Cardano y Tartaglia

     Cierra los ojos y viaja con tu imaginación a un torneo medieval. Si en ese torneo no existen ni espadas, ni lanzas, ni caballeros, sino sólo la potente imaginación de un grupo de matemáticos que buscaban ganarse la vida en las plazas de alguna ciudad, entonces es que habrás leído ya esta entrada. Pero si no lo has hecho y te pica la curiosidad, a continuación te adentrarás en el mundo de los torneos matemáticos. ¿En qué consistían estos torneos? ¿Qué premios había para los campeones? ¿Por qué fueron tan importantes en el desarrollo de las Matemáticas del Renacimiento?. Te lo explicaré de la mano de los dos mejores campeones: Cardano y Tartaglia.

  Un caballero recoge el laurel de la victoria.

       Ésta es su historia de rivalidad.

       Si quieres escuchar su historia mediante un podcast, pincha en este enlace. 
       Si prefieres leer, pincha en "más información"

El número áureo y la sucesión de Fibonacci

       Leonardo de Pisa, más conocido como Fibonacci, fue un matemático italiano del siglo XIII. Su importancia en las Matemáticas es indudable, puesto que a él se debe la introducción en Europa de los métodos de cálculo árabes de realizar opeaciones.

       En esa época, la forma de representar los números que teníamos los europeos era la forma romana. Imaginaos hacer una simple multiplicación usando números romanos: ¡imposible!. Por eso se usaba el ábaco, instrumento rudimentario de cálculo que extendieron los mongoles en la Europa de la Edad Media y que provenía de China y de Rusia.

       En un principio, los comerciantes italianos eran reacios a abandonar el ábaco que ya manejaban con gran habilidad y pusieron muchos impedimentos al nuevo sistema de cálculo sobre arena (cálculo escrito) que aprendió Fibonacci de los árabes y que pretendió introducir en Europa en su obra Liber abaci (Libro del ábaco). Pero los negocios son los negocios, y los árabes, muchos más hábiles comerciantes debido a su mejor sistema de operaciones, pudieron dominar el comercio en el Mediterráne, sino llega a ser porque los comerciantes italianos adoptaron a tiempo los nuevos sistemas de cálculo que Fibonacci aprendió de los árabes.

Liber Abacci

       Pero Fibonacci, a pesar del éxito, divulgación y aceptación de su Liber Abaci, es más conocido actualmente por una curiosa sucesión de números.

       Se parte de 1, luego el siguiente es 1, el siguiente se hace sumando los dos anteriores, 1+1=2, el siguiente sumando los dos anteriores, 2+1= 3 y así sucesivamente.

       Bien, ahora te toca a ti investigar sobre esta sucesión y su relación con el número de oro.

     a) Tras explicar lo aprendido en esta entrada, construye los 20 primeros términos de la sucesión de Fibonacci.

    b) Construye los 20 primeros términos de la sucesión que se obtiene al dividir un término de la sucesión de Fibonacci entre su anterior (no uses aproximaciones decimales, por la calculadora en modo normal)

     c)¿Hacia qué número se aproxima la lista que estás obteniendo?

     d)¿Qué enunciado de un famoso problema le llevó a formular esta sucesión a Fibonacci?

   e)¿Qué tiene que ver esta sucesión con el famoso triángulo de Pascal de probabilidad?. Busca este triángulo (es el mismo que el de Tartaglia para hacer binomio de Newton)

     f) El número áureo aparece en muchos fenómenos de la naturaleza. Puedes buscar información en el vídeo que aparece en la entrada "El número áureo" en la etiqueta "Matemáticas - Sociedad" de este blog. Pero también ha sido usado en la música. Puedes oírlo en la etiqueta "El número de oro en el Rock de la etiqueta "Matemáticas y Música"). Bien, aquí te he puesto un ejemplo de música rock actual en el que se emplea el número áureo. ¿Podrías tú buscar algunas sinfonías y obras musicales (de música culta) en la que se usa el número áureo?

Leonardo de Pisa, Fibonacci

Descubriendo el número e

        
       El número "e", o número de Euler, es una de las constantes matemáticas más importantes. Es un número irracional, concretamente e = 2.71828 18284 59045 23536 02874 7135... (lo puedes hallar con tu calculadora pulsando 1, Shift y la tecla "ln"). No cabe duda de su aplicación directa en otras ciencias como:

       Biología: en el estudio de poblaciones que crecen exponencialmente. Esto ocurre por ejemplo en poblaciones de bacterias, o en la recuperación de una superficie boscosa tras un incendio. En este tipo de crecimiento la fórmula es:

N = No · e elevado a t

Esto nos permite adivinar cual será la población (N) en un determinado tiempo (t) a partir de la población inicial (No).

       Paleontología: cuando se trata de datar un fósil, la constante de Euler también está presente. A mediados del siglo XX, el químico Libbv descubrió que el isótopo radiactivo del carbono-14 iba desaparenciendo lentamente. El C14 reacciona con el oxígeno de las capas altas de la atmósfera proporcionando dióxido de carbono radiactivo, el cual entra en contacto con la superficie terrestre y por tanto con los seres vivos. Mientras, un ser vivo va reponiendo el C14 que pierde, pero cuando muere, sólo se producirá en él una pérdida continua y lenta de C14. Una vez que los químicos consiguieron medir la cantidad de C14 contenido en un ser no vivo, como se conocía la velocidad de desintegración del C14, se lanzaron a buscar la ecuación que diera como solución el tiempo necesario para que en ese ser quedara tan sólo esa cantidad de C14. Y en esta fórmula se encontraron el número e.

     

       Tanto los forenses como los paleontólogos, también deben tener este número en cuenta. Y es que e permite determinar en un asesinato el momento de la muerte. Para ello es necesario aplicar la ley de Newton sobre el enfriamiento que establece que la velocidad a la que se enfría un cuerpo es proporcional a la diferencia entre la temperatura del objeto y la temperatura del entorno. Esto quiere decir que cuando un objeto está mucho más caliente que el aire exterior, su velocidad de enfriamiento es alta, de manera que pierde temperatura muy rápidamente. Por el contrario, cuando un cuerpo está un poco más caliente que su entorno, su velocidad de enfriamiento es baja.

   Una persona viva no se enfría continuamente. El metabolismo humano asegura el mantenimiento de la temperatura del cuerpo alrededor de los 36ºC. Pero, una vez muertos, nuestro organismo deja de producir calor y, por tanto, comienza a enfriarse siguiendo la ley de Newton, que se aplica con la fórmula matemática siguiente:

T = Taire + (Tcos - Taire) / e elevado a k.t

En ella T es la temperatura, t es el tiempo en horas después de medianoche y k es una constante. De nuevo e está presente.

       Hay más. Esta constante también está ligada a la razón áurea y a la espiral logarítmica. Cuando se cuelga una cadena o un cable por los extremos, tiende a adoptar una forma que se relaciona con el número e. Incluso en algo tan mundano como el cálculo de los intereses bancarios es necesario recurrir a la constante de Euler. 

        También aparece en la célebre fórmula que me permite estudiar los fenómenos distribuidos normalmente según la célebre campana de Gauss.


        En esta entrada relacionaré el número de Euler con Economía, en concreto con la fórmula del interés compuesto y con límites de sucesiones. Históricamente fue así como se descubrió, aunque como vemos su aplicación es de lo más variopinta.


       A continuación os voy a proponer unas cuestiones que partirán del descubrimiento histórico del número de Euler. Para ello sólo necesitarás tu calculadora y seguir el siguiente documento. Para acceder al mismo pincha en el icono.

Sello del célebre matemático suizo Leonhard Euler

       Para terminar esta entrada, es de justicia mencionar que Euler realmente no fue el descubridor del número que lleva su nombre, sino que tal descubrimiento se debe a la famosa familia de matemáticos Bernoulli. Sin embargo fue Leonhard Euler quien comenzó a usar este número con su simbología de "e", en su famosa obra matemática "Mechanica" publicada en 1736. Posteriormente algunos investigadores siguieron usando esta letra que se popularizó hasta hoy, siendo su terminología más común.


       Si queremos ser justos con la Historia, el número de Euler quizá debería llamarse número de Bernoulli ¿no crees?

       

La Criba de Eratóstenes y cálculo del tamaño de la Tierra (2º ESO)

       Eratóstenes nació en Cyrene (ahora Libia), en el norte de Africa. Vivió entre los años 275 y 195 antes de Cristo.Por varias décadas, fue el director de la famosa Biblioteca de Alejandría. Fue una de las personas más reconocidas de la época, pero lamentablemente sólo pocos fragmentos de lo que escribió sobrevivieron en el tiempo.Finalmente, murió en una huelga voluntaria de hambre, inducido por la ceguera que lo desesperaba.De todas formas, Eratóstenes se hizo famoso por dos cosas que hizo:–por la medición increíblemente precisa que hizo del diámetro de la Tierra , y por haber fabricado una criba, o un filtro, para descubrir todos los números primos. Si Eratótenes calculó el radio de la Tierra es porque sabía que la Tierra era redonda. Es decir, que 15 ¡siglos! antes que Colón, ya se sabía que la Tierra era redonda.

PINCHANDO EN LA IMAGEN PODRÁS VISUALIZAR LA CRIBA DE ERASTÓTENES.

Eratóstenes

       En este vídeo aprenderás cómo Eratótenes pudo llegar a medir el tamaño de la Tierra.

Serie divulgativa "Cosmos" del científico Carl Sagan



1.- Expón en clase un poco de la biografía de Eratóstenes.

2.- Explica cómo se calculan los primos del 1 al 100.

3.- Explica cómo se calcula en tamaño de la Tierra mediante sombras.

Terremotos logarítmicos

       ¿Logaritmo? ¡Qué palabra tan rara! ¡Seguro que es algo muy difícil! ¿Para qué servirán? ¡Qué cosas tan extrañas tienen las Matemáticas!

       Más de uno de vosotros me ha transmitido algunas de las anteriores frustraciones matemáticas. Seguro que todavía no os habéis dado por satisfechos cuando he intentado explicaros en clase su gran utilidad en el mundo real hoy y lo importantes que han resultado históricamente.

     Os recuerdo que fueron inventados por John Naiper (1550 - 1617), aquel matemático excéntrico que recibía en su castillo a sus invitados vestido con túnica negra, un cuervo en el hombro y practicaba la brujería y las artes oscuras (en fin, es cierto que algunos matemáticos están un poco locos).

     Los logaritmos se inventaron para ser unas máquinas de cálculo, como lo son actualmente las calculadoras científicas. Gracias a ellos se pudieron realizar a mano operaciones complejas con números muy grandes y muy pequeños, o con números con muchas cifras decimales. Se aplicaron fundamentalmente a cálculos de Astronomía. Verdaderamente los logaritmos han  sido la "máquina" de cálculo más duradera de la historia. Hasta el último cuarto del siglo XX han sido un instrumento imprescindible para realizar cálculos complejos.

     Vale, pero ahora ya tenemos calculadoras. ¿Cuál es la utilidad de los logaritmos?. 

 El genial y enigmático John Naiper

Que nadie entre aquí si no sabe Geometría. Platón y Pitágoras.

     No, no se trata de una prohibición para que nadie pueda leer esta entrada. Es lo que lucía en el dintel de la puerta de la Academia de Platón. Con esto pretendo enfatizar lo importante que fueron las Matemáticas, en concreto la Geometría, para el pensamiento platónico.

     El año que viene estudiaréis Filosofía, y Platón es uno de los filósofos griegos más importantes. Quizá en clase no os detengáis demasiado en las influencias de Pitágoras en el modo de comprender la naturaleza para los platónicos. Esta lectura te introducirá en la filosofía platónica y su relación íntima con las Matemáticas, complementando desde mi asignatura el conocimiento que tendréis de la filosofía de Platón.   

Recomendado a partir de 4º ESO

...

Mujeres matemáticas

      La siguiente Webquest realizada con Kompozer pretende dirigiros una investigación acerca de la importante labor que desarrollaron las mujeres en la Historia de las Matemáticas. Para acceder pincha en el icono.

La muerte de Hipatia

      Siento que en el programa que he usado para hacer la Webquest tenga problemas con las tildes. Será porque está en inglés.

Aristarco de Samos

      Aristarco de Samos fue un matemático de la escuela de Alejandría del s. III a. C. Él conocía que la Tierra era esférica (todavía en la Edad Media se dudaba de esto), y se atrevió a calcular la distancia entre la Tierra y la Luna, el radio de la Luna, la distancia de la Tierra al Sol y el radio del Sol. Este problema es interesante, porque sus matemáticas son correctas y fácilmente seguibles por alumnos de 3º ESO con conocimientos de geometría básica.

     Siguiendo los razonamientos de Aristarco podrás descubrir algo alucinante:

     ¡El Sol es mucho más grande que la Tierra y encima está muy, muy lejos!. ¿Por qué iba entonces a tener que girar éste en torno a la Tierra y no al revés?

      Aristarco propuso el modelo heliocéntrico 18 siglos antes que Copérnico, y es que ¡estos griegos nunca dejarán de sorprenderme!

      Lee el siguiente documento para poder contestar a las siguientes cuestiones:

(Pincha el icono de Aristarco)

                              Aristarco de Samos - Óleo de Domenico Fetti

Rosalind Flankin y el ADN

     En clase hemos aprendido que fueron Watson y Crick los grandes genios que descubrieron el secreto de la vida que encerraba la comprensión del ADN. Por ello fueron galardonados con Premio Nobel de Fisiología y Medicina por la determinación de la estructura del ADN.

    Pero en campos de investigación en donde atraen la atención a muchos grupos de trabajo, la competencia puede llegar a ser cruel. Y estamos ante una gran injusticia que aún no ha sido oficialmente reparada.

     Rosalind Flankin nació en Londres en 1920 en el seno de una familia judía. Se graduó en química en Cambridge, allí realizó su tesis doctoral. En el King´s College de Londres, estudió la estructura del ADN, del cual ya se sabía que jugaba un papel fundamental en la transferencia de información genética. Pero se desconocía cómo se hacía esa transmisión de información.

     Rosalind determinó que el esqueleto fundamental del ADN de azúcares-fosfatos, estaba formado por dos cadenas, y no tres, como se creía. Además tenían forma de hélice.Lo que no había determinado era cómo se unían esas cadenas.

     Watson junto con Crick terminaron de perfilar un análisis pormenorizado de la estructura que Rosalind había empezado, teniendo acceso de forma fraudulenta a la famosa foto nº 51 y otras que Rosalind presentó al Medical Research Council. Max Perutuz, director del Departamento de Biología Molecular, en el que trabajaban Watson y Crick revisó dicho documento en calidad evaluador y se lo pasó a sus chicos Watson y Crick a pesar de ser información confidencial.

     A partir de esta información, llegaron a terminar el modelo de ADN y tuvieron la intución genial de describir los "peldaños" que resultaron ser la clave en el proceso de transmisión de información genética, a saber, el apareamiento mediante puentes de hidrógeno de bases adenina-timina, guanina-citosina.

     La prestigiosa revista Nature publicó este modelo aunque ellos no aportaron nada de quién había comenzado el trabajo.

     Tras recibir  el Premio Nobel, fama y dinero, Watson en su libro La doble hélice hizo múltiples comentarios maliciosos de sus colegas, especialmente de Rosalind de la que hablaba como chica poco agraciada y siempre malhumorada.

     La otra cara de la moneda fue la muerte de Rosalind por un cáncer de ovarios en 1958, seguramente propiciado por la larguísimas horas de trabajo sin la protección necesaria, en las que recibió dosis elevadas de rayos X.

     Demasiado reconocimiento para los que salieron en la foto, pero no para quien la hizo: Rosalind Flankin

                                                                   Rosalind Flankin

(Resumen extraído de "La doble hélice y la foto robada" de Adela Muñoz Páez, Revista Redes)