Matemáticas ESO Carmelitas Jaén: La Construcción de las Matemáticas

Hace ya algunas entradas a este blog, he intentado adentrarme, aunque de un modo superficial, en la complicada definición de las Matemáticas. ¿Qué son las Matemáticas?. Varias escuelas de pensamiento matemático, que podríamos llamar escuelas metamatemáticas nos han acompañado desde entonces, todas, con sus luces y sus sombras.

Según la opinión de los pitagóricos, las Matemáticas son el lenguaje en el que parece estar escrito el libro de la Naturaleza. Todavía hay poca gente que duda de esta afirmación. Las Matemáticas serían por tanto, un lenguaje que describe a la Naturaleza. Pero adentrarnos en qué se basa este tipo de lenguaje y cómo se usa, me ha llevado a describir en otras entradas las cuatro escuelas de pensamiento matemático más importantes. En resumen podríamos decir:

Si pensáramos como en la escuela empírica, diríamos que las Matemáticas son inventadas para resultar útiles. Por tanto serían pura invención de los matemáticos. Un matemático empirista diría que las Matemáticas se inventan.

Si oyésemos la opinión de la escuela idealista, creeríamos que las Matemáticas son una especie de formas perfectas y bellas, que existieron, existen y existirán más allá de la invención del matemático, y a las que solamente éstos pueden llegar a descubrirlas. Un matemático idealista diría que las Matemáticas se descubren.

Por otro lado, bajo el punto de vista formalista, las Matemáticas son un conjunto de proposiciones lógicas que parten de unas intuiciones elementales, sin necesidad de demostración, llamadas axiomas, de tal modo que a partir de ellos y mediante una secuencia lógica-deductiva pueden construirse.

Dadas las “insalvables” contraindicaciones de cada una de estas formas de pensar, de las que ya hablé en las entradas correspondientes que explicaban cada una de ellas, surge una cuarta escuela metamatemática moderna llamada constructivista.

Uno de sus fundadores fue el célebre matemático Kronecker. Él acuñó la célebre frase dentro de las Matemáticas de que “Dios hizo los números naturales; todo lo demás es obra del hombre”.

En esta frase se resume su idea de qué son las Matemáticas. Para él, sólo debemos aceptar las nociones matemáticas más sencillas como los números naturales y la numeración de éstos (1, 2, 3, etc.). A partir de esto, que constituiría el punto de partida del razonamiento matemático, todas las demás proposiciones matemáticas puede construirse paso a paso a partir de nociones intuitivamente obvias.

Pero ¿a qué llama él intuiciones obvias?. Según Kronecker, la intuición es la recompensa de una larga experiencia, comprensión profunda y pensamiento disciplinado.

De este modo, las Matemáticas no son más que un conjunto de proposiciones que pueden construirse mediante un paso finito de pasos deductivos a partir de los números naturales.

Por tanto, para un matemático constructivista, el concepto de infinito no tendría sentido. También es de señalar, que la escuela constructivista no acepta el método de reducción al absurdo que tan bien funciona en la matemática formal, y que fue introducido por el célebre matemático Euclides de Alejandría como un método de demostración matemática.

Las preguntas que ahora se plantean son:

¿El infinito es un concepto útil en Matemáticas? ¿Qué pasa con él?
¿Qué pasan con los resultados matemáticos que han sido demostrados por reducción al absurdo y todos los derivados de éstos?

A esto también responde Kronecker. Según él, el estatus de cualquier proposición lógica no se reduce sólo a verdad o mentira; puede ser verdadera, falsa o también indecidible. Es decir, existen muchas proposiciones matemáticas cuya verdad o falsedad no pueden determinarse mediante un conjunto finito de pasos intuitivos, como vimos en las paradojas lógicas de la entrada anterior, o en las conjeturas matemáticas que no sabemos si se podrán demostrar. Pasaría algo parecido a si en un juicio el estatus de un acusado no sólo fuera inocente o culpable. También podría ser “no probado”, es decir, con los elementos de que disponemos no podríamos demostrar la culpabilidad del acusado.

Los resultados matemáticos obtenidos por reducción al absurdo no tienen cabida en el constructivismo, como dije antes. Esto significa que no tienen por qué ser verdad tales resultados, ni falsos tampoco.

Entonces, me digo, habría que volver a revisar todas las Matemáticas y en consecuencia cuestionaríamos teorías físicas tan famosas como la Relatividad, por ejemplo, ya que sus Matemáticas deberían volver a construirse.

Desde este punto de vista metamatemático, ¿cuántas verdades matemáticas existirían?, dicho de otro modo, ¿cuántas podrían construirse a partir de intuiciones desde los números naturales en un proceso finito de pasos?

Para contestar a las anteriores preguntas imaginemos el superodenador más potente que pueda imaginarse, el ordenador perfecto. Se llama Máquina de Turing. Podemos decir que si una proposición matemática no se puede demostrar es porque la Máquina de Turing que ejecuta todos los pasos constructivista en un tiempo endiabladamente rápido necesitaría la eternidad. Pues bien, como esto es posible, diremos que estas proposiciones son no computables.

El resultado de Gödel (véase la entrada a este blog "El formalismo matemático") puede demostarse mediante esta imaginaria Máquina de Turing, es decir a partir de la intuición elemental de los números naturales en un conjunto finito de pasos podemos llegar a la misma conclusión, por lo que parece ser que el tejido de la Naturaleza que describían tan bien las Matemáticas, como decía Pitágoras, está llenos de proposiciones que no son computables, dicho de otro modo, que nunca podremos comprender del todo sus estatus de verdad o falsedad.

Si las Matemáticas que conocemos describen tan bien a la Naturaleza es porque en realidad estamos tratando con operaciones computables.

Pero ahora me pregunto: ¿las Matemáticas tienen por tanto futuro?.

Ahora vivimos un periodo de tiempo en que nunca han habido tantos descubrimientos matemáticos y de tanta calidad. Han habido demostraciones recientes de conjeturas endiabladamente difíciles como la de Fermat o Poincaré que han abierto paso a multitud de ramas matemáticas nuevas sin explorar, por ejemplo. Creo que actualmente las Matemáticas gozan de más salud que nunca. Pero por supuesto, parece ser que hay cuestiones con tanta profundidad matemáticas que incluso la Máquina de Turing tardaría mucho en averiguar su verdad o falsedad, si es que se pudiese averiguar.

Creo por tanto, que las Matemáticas seguirán avanzando, pero ¿cuántos resultados computables quedan por descubrir? Según sea su número, así será el futuro de las Matemáticas.

Pero como ocurre con las anteriores escuelas metamatemáticas, también podría formularse una dura crítica a la escuela constructivista.

Empezaría insistiendo en que el infinito que niega esta escuela de pensamiento no sólo se maneja con cierta facilidad en Matemáticas sino que es de una utilidad vital en el trasfondo matemático de muchas teorías por ejemplo físicas.

Por otro lado, si el constructivismo se basa en la intuición humana me pregunto: ¿todas las intuiciones humanas son las mismas?, ¿la intuición humana evoluciona como rasgo de la inteligencia?, ¿de qué modo?, ¿qué es un paso constructivo?, ¿por qué se toman los números naturales como la intuición más básica?, ¿por qué se rechazan otras intuiciones elementales?, ¿cómo se explica la utilidad de conceptos que no son constructivos como el infinito en Física?, ¿cuantas verdades matemáticas pueden llegar a demostrarse?. ¿habrá una nueva escuela de pensamiento que conviva con las cuatro anteriores?, ¿la pregunta de “qué son las matemáticas” es computable?