La regla de los signos

  "Quedé desconcertado cuando comprobé que nadie me podía explicar por qué menos por menos da más"

 (STENDALL 1783 - 1842, el más importante escritor del realismo francés)

    El concepto de número negativo es muy antiguo: hace 30 siglos los chinos ya usaban los números positivos y negativos con un sistema de varillas de distintos colores. Para distinguirlos usaban el color rojo para los números negativos (de ahí viene la expresión estar en números rojos). Las reglas de operaciones con números negativos fueron generalizadas por los hindúes hace 1400 años. Nos las hemos aprendido de memoria, pero no nos hemos parado a pensar en el porqué de esas reglas.  ¿Podrías tú explicarlascon un ejemplo?

Pista: Te voy a proponer un ejemplo concreto. Imagínate un ascensor que sube y baja a razón de dos plantas por segundo. Si en un momento determinado está en una planta, según suba o baje se puede saber dónde ha estado antes o estará después.

Por ejemplo si baja (-2 plantas/seg) dentro de tres segundo (+3 seg) estará 6 plantas por debajo ( - 6 plantas). Hemos comprobado que menos por más es menos.

Busca otros ejemplos que muestren que +.+ = + ; +.(-) = - ; (-).(-) = +

   ¡Qué lástima que Stendall hubiera conocido vuestra explicación!

Para saber más:

Vuestra manera de explicar con un ejemplo particular la regla de los signos es buena como un primer intento de aproximación. Sin embargo, esto no es del todo válido en las Matemáticas formales, ya que para ellas, un ejemplo particular no sirve para explicar una regla general. Necesitamos deducir cualquier regla sólo a partir de unos principios fundamentales llamados axiomas y en un proceso finito de pasos. Este proceder de hacer Matemáticas se denomina método axiomático. Observa cómo se puede demostrar la regla de los signos de un modo formal a partir de unos principios elementales (propiedades asiociativa, conmutativa, elementos neutros, elementos opuesto e inverso, propiedad distributiva).

Vamos a probar por ejemplo que menos par más es menos.

Para ello supongamos dos números cualesquiera que los representaré por "a" y "b"

Una propiedad fundamental dice que si tengo un número "a" podemos siempre encontrarle su opuesto, simbolizado por -a (no confundas opuesto de un número con número negativo), de modo que a+(-a)=0. En consecuencia si hacemos (a+(-a)).b=0, ya que por otra propiedad fundamental 0 por cualquier número es cero. Otro axioma es la propiedad asociativa que transforma (a+(-a)).b=ab+(-a)b=0. Es decir, ab y (-a)b deben ser números opuestos ya que suman 0, dicho de otro modo, (-a)b = -ab. Con ello hemos probado que menos por más da menos.

Fíjate que "a" y "b" pueden ser cualquier número, no ejemplo concretos como el tú me has dado en clase. 

En las Matemáticas formales, se consideran aceptables resultados matemáticos siempre y cuando seamos capaces de deducir de las propiedades fundamentales estos resultados matemáticos en un número finito de pasos. Este modo de formalizar las Matemáticas se debe a Hilbert, un matemático del siglo XX que se ocupó entre otras cosas de investigar los fundamentos del razonamiento matemático. La demostración abstracta de resultados matemáticos (las Matemáticas no se demuestran con ejemplos concretos) se debe a la escuela pitagórica de la Grecia Clásica.

Finalmente, demostrar que más por menos da menos es consecuencia de la propiedad conmutativa y demostrar que menos por menos da más o viceversa se deduce inmediatamente de la regla antes demostrada.

(-a)(-b)=-a(-b)=-(-(ab))=ab, ya que el opuesto del opuesto de un número es él mismo, con ello demostramos que menos por menos da más. 

Hilbert, el matemático que impulsó el método axiomático para hacer Matemáticas

Podríamos ir un poco más allá y preguntarnos, ¿por qué esas y exactamente esas (ni una más ni una menos) propiedades fundamentales (asociativa, conmutativa...)?, quiero decir ¿son esas propiedades sólamente, o faltan o sobran algunas?. ¿Y si partimos de distintos axiomas construremos diferentes Matemáticas? ¿Los axiomas sirven para explicar todas las Matemáticas descubiertas y las que quedan por descubrir? Responder esto es importante, porque si la respuesta fuera que sí, entonces ya no harían falta los matemáticos en el mundo. Un ordenador podría encargarse de investigar y descubrir todas las Matemáticas.

Estas preguntas que se refieren concretamente a los fundamentos de las Matemáticas las planteó Hilbert en una conferencia con los mejores matemáticos del momento que se celebró en Paris en 1900. Junto a estas cuestiones se plantearon otros problemas que trataban sobre diversos temas matemáticos. 

Todavía no se han respondido de un modo satisfactorio a algunas de las cuestiones planteadas, pero sin duda, esos 23 problemas que Hilbert planteó en la conferencia de Paris han supuesto el pistoletazo de salida del periodo histórico más fértil de las Matemáticas, el siglo XX.