Curva de Koch

       Como ya hemos dicho en clase, las Matemáticas a veces pueden ser muy poco intuitivas. 
       Un ejemplo claro es el concepto de infinito. Aquí vamos a estudiar un polígono que encierra un área finita pero resulta que tiene un perímetro infinito. 

       

       A esta "criatura" matemática se le llama Curva de Koch y es un ejemplo muy famoso de un fractal. 

  (Esta actividad es recomendada  partir de 4º ESO)

      La curva de Koch más que una "criaturita", es realmente un "monstruo" matemático. Fue propuesta por el sueco Helge von Koch en el año 1904. Tiene unas propiedades bastante raras: es una curva cerrada y continua que no tiene tangente en ningún punto (es decir no es derivable en ningún punto). Pero es que además, tiene un perímetro infinito aunque cierra un área finita. Y aquí no acaba la cosa: dados dos puntos cualesquiera de la curva, la longitud del arco entre ellos es infinita, ¡por muy próximos que los elijamos!.

       Esta curva se construye así:

• Se parte de un triángulo equilátero en el que cada lado se divide en tres parte iguales. 
• Se sustituye el tercio central por un promontorio en forma de triángulo equilátero, y así hemos sustituido cada lado por una poligonal formada por 4/3 del lado original. 
• Este proceso se va realizando hasta el infinito.

        Aquí tenéis cómo iría quedando la curva de Koch en las tres primeras iteraciones. Por la forma que va saliendo a la curva de Koch se la llama "cristal de nieve". Este monstruo matemático no sólo tiene interés matemático sino que fue empleada por Benoît Mandelbrot para estudiar y representar la irregularidad de las costas marítimas, que resultan ser ejemplos de fractales.

       Benoît Mandelbrot fue principal impulsor de la Geometría Fractal en una de las mejores obras de Matemáticas del siglo XX , "La Geometría Fractal de la Natualeza", Tusquets Editores

        Bien, aquí ahora va vuestro desafío: construye el término general del perímetro de la curva de Koch y demuestra que su límite tiende a infinito, es decir, su perímetro es infinito.