El valor absoluto

     Hay una cosa que no solemos olvidar por lo fácil que resulta: calcular el valor absoluto de un número. Pero cuando pregunto a mis alumnos el significado de esta operación encuentro algunas dificultades por la dichosa manía de aprender conceptos matemáticos de memoria y no comprender su utilidad práctica.


Actividad recomendada a partir de 4º ESO

    Es el momento de recordarles que el valor absoluto es una especie de regla para medir. Realmente representa una distancia (del número al cero); por eso nunca puede ser negativo.



     Avanzando un poco más, vemos que el valor absoluto está muy relacionado con la raíz cuadrada (de hecho la raíz cuadrada es una operación que también permite calcular distancias), pero, y he aquí mi sorpresa, todavía no he visto un libro de ESO que no contenga un error de concepto en la raíz cuadrada. Ya sé que puede resultar sorprendente, pero quién no ha visto en algún sitio (incluso puede que lo hayamos aprendido mal) expresiones como la siguiente:

$\sqrt[2]{4}=\pm 2$

       Con un poco de picardía, si lo anterior fuera válido ¿cuánto valdría $\sqrt[2]{4}+\sqrt[2]{9}$?. ¿1, -5, -1 ó 5? ¿Y si añadimos más raíces exactas a la operación? ¿Cuántas soluciones obtendríamos?



No hay que ir muy lejos para encontrar 
"asesinatos matemáticos" como el anterior.

      Parece claro que la $\sqrt[2]{4}$ no puede tener dos soluciones, para empezar, porque ninguna operación puede tener varias soluciones si está bien definida.

      Atendiendo a su significado geométrico, como la raíz cuadrada calcula distancias (longitudes de hipotenusas de triángulos rectángulos), la solución deberá ser la positiva. 

       Bien, ¿pero qué tiene que ver esto con el valor absoluto? 

       También he visto en libros de texto de la ESO expresiones como ésta:

$\sqrt[2]{x^2}=x$

       ¿Quién no ha dicho alguna vez "el cuadrado se va con la raíz"? Pero como ocurría con la raíz cuadrada, tampoco esto es exacto. Sólo se cumple si los números son positivos, porque con un poco de picardía nos daríamos cuenta de que si el cuadrado se "fuera" con la raíz pasarían cosas como ésta:

$\sqrt[2]{4}=\sqrt[2]{(2)^2}=+2$
$\sqrt[2]{4}=\sqrt[2]{(-2)^2}=-2$
  
       Es decir, $\sqrt[2]{4}=\pm2 $, expresión que como vimos no tiene mucho sentido.

     ¿Qué es lo que está ocurriendo? ¿Las matemáticas fallan? Si fallan en algo tan elemental como la raíz cuadrada y el valor absoluto mal comenzaríamos. 



       Lo que ocurre realmente es que sea quien sea x:

$\sqrt[2]{x^2}=\left |x\right |$

       De este modo, vemos la relación entre raíz cuadrada y valor absoluto, que según la expresión viene a ser lo mismo. 

       Bien, ahora te toca a ti reflexionar sobre esto:

       Considera $f(x)=\left |x\right |$. Calcula una expresión de la derivada de su función sin usar ramas.

Solución: $f´(x)=\frac{x}{\left |x\right |}$


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1 comentarios:

Francisco Javier dijo...

Resuelto por Pedro Bonilla 4 ESO

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