Matemáticas en la frutería

     En la jornada 13 de Liga Matemática se ha propuesto el siguiente ejercicio para el 2º ciclo de ESO.
     Halla la fórmula que permita calcular esta suma:
$$1^2+2^2+3^2+...+n^2=$$

     El problema es el típico de Matemáticas de toda la vida, directo y abstracto. Sin embargo, es fácil encontrar un caso real y sencillo de la anterior serie, por ejemplo, a partir de ella podemos calcular el número de naranjas que se pueden apilar en forma de una pirámide de base cuadrangular, como ésta: 
      Eso sí, se trata de una pirámide de n - filas de naranjas.



     Esta cuestión me ha recordado el problema del "apilamiento óptimo" de las balas de cañón que planteó el almirante Raleigh en 1611. Quería optimizar el espacio de almacenamiento de las mismas en la santabárbara de su navío de guerra. Para ello supuso algo razonable: que las balas eran perfectamente esféricas. Bueno, más o menos estamos en el mismo caso, pero con naranjas.
    Este dichoso "problemita" tiene su historia, porque a pesar de su inocente planteamiento,  no fueron capaces de resolverlo matemáticos de la talla de Kepler o del mismísimo Gauss; incluso David Hilbert formuló esta cuestión en sus 18 desafíos para el siglo XX, pero nada, cualquiera que se haya atrevido con él sólo ha obtenido una solución parcial e incompleta.
     Mientras tanto, los fruteros de todo el mundo seguirán colocado así su fruta ajenos, por supuesto, a los inextricables laberintos de la geometría. Y no me cabe duda de que lo seguirán haciendo así, aunque alguien demostrase algún día que hay un modo mejor de apilarlas.
      Nuestro reto es investigar series de este tipo. Por eso te propongo sigas unas pistas que te daré en cada reto. Así tendrás oportunidad de acceder al problema que plantearon a vuestros compañeros en la Liga Matemática.

a) Es fácil calcular ésta.
$$1+2+3+...+n=$$
       Ten en cuenta que ya lo hizo Gauss con 10 años; ya sé que fue un genio, pero te doy una pista: Suma primer y último término, segundo y penúltipo término y así sucesivamente. ¿qué observas?

       Puedes ver el siguiente vídeo que quizá te refresque algo la memoria:


 b) Ahora ha llegado el momento de atreverte con ésta. Para ello sigue las pistas que te doy a continuación.:
$$1^2+2^2+3^2+...+n^2=$$
Pistas:
1.- Calcula con el Binomio de Newton $(n+1)^3$
2.- Al resultado obtenido, réstale $n^3$ en cada miembro. Así obtendrás una igualdad.
3.- Sustituye en la igualdad anterior sucesivamente por $$n=0; n=1, n=2, ..., n=n$$
4.- Suma por columnas todas las igualdades obtenidas y ya podrás despejar la fórmula de la suma anterior.
       ¿Has tenido suerte?. Pues la fórmula obtenida te ayudará a resolver el apartado siguiente.

c) Siguiendo un procedimiento análogo al anterior, pero partiendo de $(n+1)^4$ obtén la fórmula que calcula esta suma. Calcúlala
$$1^3+2^3+3^3+...+n^3=$$

d) ¿Puedes explicar la regularidad que has obtenido para calcular la suma de las series de las demás potencias?

Soluciones: $$1^2+2^2+3^2+...+n^2=\frac{n.(n+1).(2n+1)}{6}$$
$$1^3+2^3+3^3+...+n^3=\frac{n^2.(1+n)^2}{4}$$

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1 comentarios:

Francisco Javier dijo...

Resuelto por Francisco J. Hortelano 4º ESO

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