Sucesión de Titius

          Johann Daniel Titius fue un matemático y astrónomo alemán del siglo XVI. En este siglo sólo se conocían los planetas Mercurio, Venus, Tierra, Marte, Júpiter y Saturno. En el año 1666 descubrió una curiosa sucesión que relaciona la distancia de un planeta al Sol.                  

       

Recomendado para alumnos a partir de 3º ESO

       (Esta actividad ha sido incluida dentro de una webquest que he elaborado sobre algunas sucesiones y series que pueden resultar al menos curiosas. Algunas pueden ser endiabladamente curiosas. Si eres de los que creen que los retos matemáticos están para superarlos, no dudes en consultarla en SUCESIONES Y SERIES.).

LA SUCESIÓN DE TITUS-BODE

1. Construye los 7 primeros términos de la siguiente sucesión: empieza por 0 y por 3. A partir de aquí el siguiente término se hace multiplicando por dos el anterior. Una vez construida esta sucesión, construye otra sumando 4 a cada término. ¿Qué sucesión te sale? A esta sucesión se le llamó Ley de Titius-Bode.

2. Una UA (unidad astronómica) es la distancia del la Tierra al Sol. Equivale a aproximadamente 8 minutos luz, es decir, la distancia que recorre la luz en ocho minutos, unos 150 millones de Km. Actualmente se sabe que la distancia media de los planetas por orden de cercanía al Sol es de 0,38 para Mercurio ; 0,72 para Venus ; 1 para Tierra ; 1,52 para Marte ; 5,2 para Júpiter ; 9,54 para Saturno UA. Divide la sucesión de Titius-Bode entre 10 y calcula el error absoluto cometido al comparar término a término. ¿Son correctas las aproximaciones si tomamos como cotas de error el 10%? Observa que le sobra el 5º término a la sucesión de Titius. ¿Cuál es la mejor aproximación? ¿Y la peor?

3. Los telescopios de la época apuntaron hacia la región correspondiente al 5º término de la sucesión pero no encontraron ningún planeta. ¿Qué hay en esta región? Busca en Internet cuál es su origen.

4. Urano fue observado tras una predicción matemática por William Herscherl en 1781 y actualmente se sabe que está a 19,18 UA. Extrae un nuevo término a la Ley de Titius-Bode y calcula el error relativo. ¿Es aceptable la predicción bajo una cota de error del 10%? Quizá, a pesar de todo Zenón tenía su parte de razón ¿no crees?

Como curiosidades final, la ley de Titius-Bode se cumple para el sistema de satélites de Júpiter y Saturno. ¿Se cumplirá la misma ley para el resto de los planetas de otros sistemas solares?